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二项式定理的推广(四)- 和算家的数学表(下)

2020-06-16 04:07

连结:二项式定理的推广(三):和算家的数学表(上) 

在〈二项式定理的推广(三):和算家的数学表(上)〉一文中,提到江户时期日本数学家(和算家)利用数学表的方式,推广了二项式定理,以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展开式之各项係数表。另一方面,在〈二项式定理的推广(二)〉一文里,也提到他们利用开方法(综合除法,亦即中国传入的贾宪-霍纳法)求得了展开式:

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

有了上述展开式之后,即可以透过造表、观察关係与规律的方式造出

$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展开式。

利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$,利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。

若以表一为例,有了 $$(1+x)^\frac{1}{2}$$ 的展开式係数后,可写成表的第一列:

二项式定理的推广(四): 和算家的数学表(下)

表一 $$(1+x)^{\frac{1}{2}}$$ 的展开式之係数表

接着,因为 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = (1 + x)(1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…)$$

其展开式之常数项为 $$1$$,

一次项为 $$(x\cdot 1+1\cdot \frac{1}{2}x)$$,其係数为 $$1+\frac{1}{2}$$ ,即第一列前二行之和。

二次项为 $$x\cdot\frac{1}{2}x+1\cdot(-\frac{1}{8}x^2)$$ ,其係数为 $$\frac{1}{2}-\frac{1}{8}$$ ,即第一列第二行与第三行之和。

三次项为 $$x \cdot ( – \frac{1}{8}{x^2}) + 1 \cdot \frac{3}{{48}}{x^3}$$,其係数为 $$- \frac{1}{8} + \frac{3}{{48}}$$,即第一列第三行与第四行之和。

以此类推,$${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 的 $$x^k$$ 项係数为第一列第  $$k$$ 行与第 $$k+1$$ 行之和。

如此可依序求出 $$(1+x)^{\frac{3}{2}}$$ 展开式之各项係数。造出该表的第二列。

有了 $$(1+x)^{\frac{3}{2}}$$ 的展开式之各项係数后,又因为 $$(1+x)^{\frac{5}{2}}=(1+x)(1+x)^{\frac{3}{2}}$$ 便可再依第二列再造出该表第三列,接着,利用第三列再造出该表第四列。

换句话说,利用表的 $$a_{i,j}+a_{i+1,j+1}$$ 可造出 $$a_{i+1,j+1}$$ 元,有了表的第 $$k$$ 列,便可造出第 $$k+1$$ 列,如此便可造出有关 $$(1+x)^{\frac{2k-1}{2}}$$ 之展开式係数表。

至于 $$(1+x)^{-\frac{2k-1}{2}}$$ 类的展开式呢?原理相同,不过这里需要用到两个展开式:

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

以及 $${(1 – x)^{ – 1}} = 1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + ….$$

利用 $${(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$,利用 $${(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{-\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$。

以此类推,可依序求得 $${(1 + x)^{ – \frac{{2k – 1}}{2}}}$$ 之展开式。

首先,$${(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}\\= (1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…)(1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + ….)$$

其展开式之常数项为 $$1$$,

一次项为 $$(1 \cdot x + \frac{1}{2}x \cdot 1)$$,其係数为 $$1+\frac{1}{2}$$,即第一列前二行之和。

二次项为 $$(1 \cdot {x^2} + \frac{1}{2}x \cdot x + ( – \frac{1}{8}{x^2}) \cdot 1)$$,其係数为 $$1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{8}$$,即第一列前三行之和。

三次项为 $$(1 \cdot {x^3} + \frac{1}{2}x \cdot {x^2} + ( – \frac{1}{8}{x^2}) \cdot x + \frac{3}{{48}}{x^3} \cdot 1)$$,其係数为 $$1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{8} + \frac{3}{{48}}$$,即第一列前四行之和。

以此类推,可知 $${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$ 的 $$x^k$$ 项係数为第一列前 $$k+1$$ 行之和,

如此可依序求出 $$(1+x)^{-\frac{1}{2}}$$ 展开式之各项係数,进而造出该表的第二列。

有了 $${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$ 的展开式之各项係数后,又因为 $${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}} = {(1 + x)^{ – 1}}{(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$ 便可再依第二列造出该表第三列,接着,利用第三列再造出该表第四列。

换句话说,利用表的 $$\sum\limits_{l = 1}^{j + 1} {{a_{i,l}}}$$ 可造出 $${a_{i + 1,j + 1}}$$ 元,有了表的第 $$k$$ 列,便可造出第 $$k+1$$ 列,

如此便可造出有关 $${(1 + x)^{ – \frac{{2k – 1}}{2}}}$$ 之展开式係数表。

以上便是江户时期日本数学家推广得二项式定理的方法。当然,受限于符号,他们并无法写出所有二项展开式的一般式,不同类的幂次必需先适当分类,再利用不同的表来呈现与记载。而除了记录知识的功能外,这些表也作为和算家重要的解题与认知工具。在没有微积分以及解析几何的情况下,他们广泛地使用这些表,包含前述各类二项展开式係数表,处理了许多几何形体的求长、求面积、求表面积、求体积问题,以及求两立体相交部份之表面积与体积问题。即使面对一般微积分也难以处理的求椭圆周长问题,他们也是透过类似的方式,辅以各类表的使用,加以解决,获得了正确的展开式:

$$L = a\pi \left( {1 – \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e – \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{8}{e^2} – \frac{{15}}{{48}} \cdot \frac{3}{{48}}{e^3} – \frac{{105}}{{384}} \cdot \frac{{15}}{{384}}{e^4} -\cdots } \right)$$

其中 $$e = 1 – \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$$,而 $$a$$ 为椭圆的长轴之半,而 $$b$$ 为椭圆的短轴之半。

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